Question

對于函數y=f（x），如果存在區間[m，n]，同時滿足下列條件：①f（x）在[m，n]內是單調的；②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．若函數f(x)=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)有“和諧區間”，則函數g(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+(a-1)x+5的極值點x₁，x₂滿足（　　）

• A、x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）
• B、x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）
• C、x₁∈（-∞，0），x₂∈（-∞，0）
• D、x₁∈（1，+∞），x₂∈（1，+∞）

Answer 1

分析：易得函數在區間[m，n]是單調的，由f（m）=m，f（n）=n可得故m、n是方程ax²-（a+1）x+a=0的兩個同號的實數根，由△=（a+1）²-4a²＞0，解不等式即可．

解答：解：由題意可得函數f(x)=

a+1

a

-

1

x

(a＞0)在區間[m，n]上是單調的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），則f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程

a+1

a

-

1

x

=x的兩個同號的實數根，
即方程ax²-（a+1）x+a=0有兩個同號的實數根，注意到mn=

a

a

=1＞0，
故只需△=（a+1）²-4a²＞0，解得-

1

3

＜a＜1，
結合a＞0，可得0＜a＜1
又由函數g(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+(a-1)x+5的極值點x₁，x₂，
則g′（x）=x²+ax+（a-1）=0的兩根為x₁，x₂，
即x₁+x₂=-a＜0，x₁•x₂=a-1＜0，
故x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）
故選：B．

點評：本題考查函數單調性的判斷和一元二次方程的根的分布，以及利用導數求函數的極值問題，屬中檔題．