Question

若函數(shù)f(x)=

(a-2)x+3a-2，0≤x≤2 ax，x＞2

是一個單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍（　　）

• A、（1，2]∪[3，+∞）
• B、（1，2]
• C、（0，2]∪[3，+∞）
• D、[3，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分段函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則兩段函數(shù)必須都為單調(diào)遞增函數(shù)且在交界處左側(cè)的函數(shù)值要小于等于右側(cè)的函數(shù)值，列出不等關(guān)系，求解即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解；∵函數(shù)f(x)=

(a-2)x+3a-2，0≤x≤2 ax，x＞2

是一個單調(diào)遞增函數(shù)，
∴y=（a-2）x+3a-2為單調(diào)遞增函數(shù)，y=a^x為單調(diào)遞增函數(shù)，且在交界x=2處左側(cè)的函數(shù)值要小于等于右側(cè)的函數(shù)值，
則有

a-2＞0 a＞1 (a-2)×2+3a-2≤a2

，即

a-2＞0 a＞1 a≤2或a≥3

，
解得a≥3，
∴實數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．
故選：D．

點評：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，主要是分段函數(shù)的單調(diào)性問題．對于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進行求解，根據(jù)分段函數(shù)的圖象很容易得到相關(guān)的性質(zhì)，若選用分類討論的方法，則關(guān)鍵是討論需用哪段解析式進行求解．本題研究分段函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則兩段函數(shù)必須都為單調(diào)遞增函數(shù)且在交界處左側(cè)的函數(shù)值要小于等于右側(cè)的函數(shù)值．屬于中檔題．