Question

16．已知冪函數$f（x）={（m-1）^2}{x^{{m^2}-4m+2}}$在（0，+∞）上單調遞增，函數g（x）=2^x-t，?x₁∈[1，6）時，總存在x₂∈[1，6）使得f（x₁）=g（x₂），則t的取值范圍是（　　）

• A． ∅
• B． t≥28或t≤1
• C． t＞28或t＜1
• D． 1≤t≤28

Answer 1

分析 根據冪函數的定義以及函數的單調性求出f（x）的解析式，分別求出f（x），g（x）的值域，問題轉化為[1，36）⊆[2-t，64-t），求出t的范圍即可．

解答 解：由f（x）是冪函數得：m=0或2，
而$f（x）={（m-1）^2}{x^{{m^2}-4m+2}}$在（0，+∞）上單調遞增，
則f（x）=x²，
x∈[1，6）時，f（x）∈[1，36），
x∈[1，6）時，g（x）∈[2-t，64-t），
若?x₁∈[1，6）時，總存在x₂∈[1，6）使得f（x₁）=g（x₂），
則[1，36）⊆[2-t，64-t），
故$\left\{\begin{array}{l}{2-t≤1}\\{64-t≥36}\end{array}\right.$，解得：1≤t≤28，
故選：D．

點評 本題考查了冪函數的定義以及函數的單調性問題，考查求函數的值域問題以及集合的包含關系，是一道中檔題．