Question

【題目】在1與2之間插入個正數，使這個數成等比數列；又在1與2之間插入個正數，使這個數成等差數列.記.

（1）求數列和的通項；

（2）當時，比較與大小并證明結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；證明見解析；

【解析】

（1）由1，，，，，，成等比數列，結合等比數列的性質可得，，從而可求；1，，，，，，2這個數成等差數列．利用等差數列的性質可得從而可求．

（2）由（1）可求，，轉化比較，的大小，先取，8，9代入計算，觀察與的大小，做出猜想，利用數學歸納法進行證明．

（1），，，，，2成等比數列，

，

，

．

，，，，，2成等差數列，

，

．

所以，數列的通項，數列的通項．

（2），，

，，

要比較和的大小，只需比較與的大小，

也即比較當時，與的大小．

當時，，，得知，

經驗證，時，均有命題成立．

猜想當時有．用數學歸納法證明．

①當時，已驗證，命題成立．

②假設時，命題成立，即，

那么，

又當時，有，

．

這就是說，當時，命題成立．

根據①、②，可知命題對于都成立．

故當時，．