Question

【題目】已知常數(shù)，向量，，經(jīng)過定點(diǎn)且以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)且以為方向向量的直線交于點(diǎn)，其中.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若，過的直線交曲線于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意結(jié)合直線方向向量的性質(zhì)可得，，由平面向量共線的坐標(biāo)表示可得，，消去即可得解；

（2）按照直線斜率是否存在討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得，求出取值范圍即可得解.

（1）設(shè)，則，，

又，，

由題意，，

∴，.

消去得點(diǎn)軌跡的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡方程為，此時(shí)為雙曲線焦點(diǎn)，

①若直線斜率不存在，直線，不妨設(shè)，

易求得；

②若斜率存在，設(shè)，

代入，整理得，

則，

設(shè)，，則，，，

由且可得，

所以；

綜上，的取值范圍為.