Question

正態總體N（0，1）的概率密度函數是f(x)=.x∈R.

(1)求證：f(x)是偶函數；

（2）求f(x)的最大值；

(3)利用指數函數的性質說明f(x)的增減性.

Answer 1

解：（1）對于任意的x∈R，

f(-x)===f(x)

∴f(x)是偶函數.

(2)令z=,當x=0時，z=0，e ^z=1,∵e ^z是關于z的增函數，當x≠0時，z＞0,e ^z＞1,

∴當x=0,即z=0時，取得最小值.

∴當x=0時，f(x)=取得最大值.

(3)任取x₁＜0,x₂＜0,且x₁＜x₂,有x₁²＞x₂²,∴＜-,∴＜,

∴

即f(x₁)＜f(x₂)

它表明當x＜0時，f(x)是遞增的.