Question

7．設正有理數a₁是$\sqrt{3}$的一個近似值，令a₂=1+$\frac{2}{1+{a}_{1}}$，求證：
（1）$\sqrt{3}$介于a₁與a₂之間；
（2）a₂比a₁更接近于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，再因式分解，確定其符號，即可得到結論；
（2）利用作差法，判斷|a₂-$\sqrt{3}$|-|a₁-$\sqrt{3}$|＜0，即可得到結論

解答 證明：（1）a₂-$\sqrt{3}$=1+$\frac{2}{1+{a}_{1}}$-$\sqrt{3}$=$\frac{（1-\sqrt{3}）（{a}_{1}-\sqrt{3}）}{1+{a}_{1}}$，
∵若a₁＞$\sqrt{3}$，∴a₁-$\sqrt{3}$＞0，而1-$\sqrt{3}$＜0，
∴a₂＜$\sqrt{3}$
∵若a₁＜$\sqrt{3}$，∴a₁-$\sqrt{3}$＜0，而1-$\sqrt{3}$＜0，
∴a₂＞$\sqrt{3}$，
故$\sqrt{3}$介于a₁與a₂之間；
（2）|a₂-$\sqrt{3}$|-|a₁-$\sqrt{3}$|=$\frac{（1-\sqrt{3}）（{a}_{1}-\sqrt{3}）}{1+{a}_{1}}$-|a₁-$\sqrt{3}$|=|a₁-$\sqrt{3}$|×$\frac{\sqrt{3}-2-{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$，
∵a₁＞0，$\sqrt{3}$-2＜0，|a₁-$\sqrt{3}$|＞0，
∴|a₂-$\sqrt{3}$|-|a₁-$\sqrt{3}$|＜0
∴|a₂-$\sqrt{3}$|＜|a₁-$\sqrt{3}$|
∴a₂比a₁更接近于$\sqrt{3}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查作差法的運用，確定差的符號是關鍵．