Question

【題目】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，
∴tanA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ），
即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，

（Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，
∴cosC= ，
∴sinC= ，
∴tanC=
在Rt△ACD中，tanC= ，
∴AD= ，
∴S△ACD= ACAD= ×2× = ，
∵S△ABC= ABACsin∠BAD= ×4×2× =2 ，
∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ =
【解析】（Ⅰ）先根據同角的三角函數的關系求出A，再根據余弦定理即可求出，
（Ⅱ）先根據夾角求出cosC，求出AD的長，再求出△ABC和△ADC的面積，即可求出△ABD的面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解同角三角函數基本關系的運用的相關知識，掌握同角三角函數的基本關系：；;（3） 倒數關系：．