Question

【題目】已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，B是鈍角，且 a=2bsinA．
（1）求B的大小；
（2）若△ABC的面積為 ，且b=7，求a+c的值；
（3）若b=6，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴利用正弦定理可得： ，又sinA≠0，

∴可得： ，

∵B是鈍角，

∴

（2）解：∵ ．

∴可得：ac=15，

∵b2=a2+c2﹣2accosB，

∴49=（a+c）2﹣ac，

∴a+c=8．

（3）解：∵b2=a2+c2﹣2accosB，

∴36=a2+c2+ac≥2ac+ac，

∴ac≤12，

∴ ，（當且僅當 時面積取最大值 ）

【解析】（1）利用正弦定理可得 ，結合sinA≠0，可求sinB，結合B是鈍角，即可得解B的值．（2）由已知利用三角形面積公式可求ac=15，利用余弦定理即可得解a+c=8．（3）由余弦定理，基本不等式可得36=a2+c2+ac≥2ac+ac，解得ac≤12，利用三角形面積公式即可得解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．