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【題目】某學(xué)校為了解高三年級學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況,抽取甲、乙兩班,調(diào)查這兩個(gè)班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時(shí)間(單位:小時(shí)),統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成頻率分布直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同,甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2,4]的有8人.

(1)求直方圖中a的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間(10,12]的人數(shù);
(2)從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測試,設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】
(1)

解:由直方圖知,(0.150+0.125+0.100+0.0875+a)×2=1,

解得a=0.0375,

因?yàn)榧装鄬W(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2,4]的有8人,

所以甲班的學(xué)生人數(shù)為 ,

所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人.

所以甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間(10,12]的人數(shù)為40×0.0375×2=3(人).


(2)

解:乙班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間(10,12]的人數(shù)為40×0.05×2=4(人).

由(1)知甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間(10,12]的人數(shù)為3人,

在兩班中學(xué)習(xí)時(shí)間大于10小時(shí)的同學(xué)共7人,

ξ的所有可能取值為0,1,2,3.

,

,

,

所以隨機(jī)變量ξ的分布列為:

ξ

0

1

2

3

P


【解析】(1)由直方圖能求出a的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間(10,12]的人數(shù).(2)由已知得ξ的所有可能取值為0,1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖,是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式,可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息,又可以利用圖形傳遞信息;在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中,對于隨機(jī)變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布,簡稱分布列才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)寫出函數(shù)的解析式;
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