Question

【題目】已知函數且在上的最大值為，

（1）求函數f(x)的解析式；

(2)判斷函數f(x)在（0，π）內的零點個數，并加以證明

Answer 1

【答案】（1）（2）2個零點.

【解析】

（1）由題意，可借助導數研究函數上的單調性，確定出最值，令最值等于，即可得到關于a的方程，由于a的符號對函數的最值有影響，故可以對a的取值范圍進行討論，分類求解；（2）借助導數研究函數f（x）在（0，π）內單調性，由零點判定定理即可得出零點的個數．

(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),對于任意的x∈(0, )，

有sinx+xcosx>0,當a=0時,f(x)= ，不合題意；

當a<0時,x∈(0,),f′(x)<0,從而f(x)在(0, )單調遞減，

又函數f(x)=axsinx (a∈R)在[0, ]上圖象是連續不斷的，

故函數在[0, ]上的最大值為f(0)，不合題意；

當a>0時,x∈(0, ),f′(x)>0,從而f(x)在(0, )單調遞增，

又函數f(x)=axsinx (a∈R)在[0, ]上圖象是連續不斷的，

故函數在[0, ]上上的最大值為f()=a=，解得a=1，

綜上所述,得；

(2)函數f(x)在(0,π)內有且僅有兩個零點。證明如下：

由(I)知,f(x)=xsinx,從而有f(0)= <0,f()=π32>0，

又函數在[0, ]上圖象是連續不斷的,所以函數f(x)在(0, )內至少存在一個零點，

又由(I)知f(x)在(0, )單調遞增,故函數f(x)在(0, )內僅有一個零點。

當x∈[,π]時,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，

由g()=1>0,g(π)=π<0,且g(x)在[,π]上的圖象是連續不斷的，

故存在m∈,π),使得g(m)=0.

由g′(x)=2cosxxsinx,知x∈(,π)時,有g′(x)<0，

從而g(x)在[,π]上單調遞減。

當x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0，

從而f(x)在(,m)內單調遞增

故當x∈(,m)時,f(x)>f(π2)=π32>0，

從而(x)在(,m)內無零點；

當x∈(m,π)時,有g(x)<g(m)=0,即f′(x)<0，

從而f(x)在(,m)內單調遞減。

又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的圖象是連續不斷的，

從而f(x)在[m,π]內有且僅有一個零點。

綜上所述,函數f(x)在(0,π)內有且僅有兩個零點。