Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求導后，分、及三種情況討論，分析導數在區間上符號的變化，即可得出函數的單調區間；

（Ⅱ）原命題等價于，令函數，利用導數求出函數的最小值，即可得出實數的取值范圍.

（Ⅰ），定義域為，且.

①當時，令，得.

若，；若，.

此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

②當時，對任意的，，

此時，函數的單調遞減區間為；

③當時，令，得.

若，；若，.

此時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

綜上所述，當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

當時，函數的單調遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（Ⅱ）由即為，令，

則，

令，則，令，得.

當時，，當時，.

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

，

當時，，當時，.

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

所以，函數的最小值為，.

因此，實數的取值范圍是.