Question

20．若定義在R上的函數f（x）滿足：（Ⅰ）f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），（Ⅱ）?x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂），則滿足以上條件的一個函數解析式為y=（$\frac{1}{3}$）^x．

Answer 1

分析 根據題意，由（Ⅰ）的運算律分析可得此函數為指數函數，由（Ⅱ）可得該函數為減函數，由于符合此條件的函數很多，從中擇一作為答案即可．

解答 解：根據題意，對于（Ⅰ）f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），任意一個指數函數均符合（Ⅰ）；
（Ⅱ）?x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂），則函數f（x）為減函數，
由上，符合上述兩條件的函數關系式必為一個底數在（0，1）上的指數型函數，
則可知滿足以上條件的一個函數解析式為y=（$\frac{1}{3}$）^x
故答案為：y=（$\frac{1}{3}$）^x．（答案不唯一，只要是底數在（0，1）上的指數函數就正確）

點評 本題考查指數函數的性質，關鍵是由（Ⅰ）分析得到要求函數應該為指數函數．