Question

如圖，F₁、F₂分別是雙曲線C：＝1(a，b＞0)的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F₁B與C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若MF₂＝F₁F₂，則C的離心率是________．

Answer 1

設雙曲線的焦點坐標為F₁(－c，0)，F₂(c，0)．
∵B(0，b)，∴F₁B所在的直線為－＝1.①
雙曲線漸近線為y＝±x，由得Q.
由得P，∴PQ的中點坐標為.
由a²＋b²＝c²得，PQ的中點坐標可化為.
直線F₁B的斜率為k＝，∴PQ的垂直平分線為y－＝－.
令y＝0，得x＝＋c，∴M，∴F₂M＝.
由MF₂＝F₁F₂得＝＝2c，即3a²＝2c²，∴e²＝，∴e＝