Question

11．若關于x的方程x³-3x+m=0在[0，2]上有兩個根，則實數m的取值范圍為（　　）

• A． [0，2）
• B． [-2，2）
• C． （-2，0]
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 作出y=-x³+3x的函數圖象，根據f（x）=m有兩解得出m的范圍．

解答 解：由x³-3x+m=0得m=-x³+3x，
令f（x）=-x³+3x，則f′（x）=-3x²+3=3（1-x²），
∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當1＜x＜2時，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，1]上單調遞增，在（1，2]上單調遞減，
又f（0）=0，f（1）=2，f（2）=-2，
作出f（x）在[0，2]上的函數圖象如圖所示：

∵關于x的方程x³-3x+m=0在[0，2]上有兩個根，即m=f（x）有兩根，
∴0≤m＜2．
故選：A．

點評 本題考查了函數單調性的判斷與最值計算，方程根與函數圖象的關系，屬于中檔題．