Question

某廠生產一種產品的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產一百件這樣的產品，需要增加可變成本（即另增加投入）0.25萬元．市場對此產品的年需求量為500件，銷售的收入函數為（單位：萬元），其中t（t∈N）是產品售出的數量（單位：百件）
（1）該公司這種產品的年產量為x（x∈N）百件，生產并銷售這種產品所得到的利潤為當年產量x（x∈N）的函數f（x），求f（x）；
（2）當年產量是多少時，工廠所得利潤最大？
（3）當年產量是多少時，工廠才不虧本？

Answer 1

解：（1）∵某廠生產一種產品的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，
每生產一百件這樣的產品，需要增加可變成本0.25萬元，
公司這種產品的年產量為x（x∈N）百件，
銷售的收入函數為，
∴當0≤x≤5，x∈Z時，
f（x）=5x--0.5-0.25x=-0.5+4.75x-，
當x＞5，x∈Z時，
f（x）=25--0.5-0.25x=12-0.25x，
∴f（x）=．
（2）當0≤x≤5時，y=-0.5+4.75x-，
∵拋物線開口向下，對稱軸x=4.75，
∴當x=5時，y有最大值10.75；
當x＞5時，∵y=12-0.25x是減函數，
∴x=6時，y有最大值10.50．
綜上，當年產量為500件時，工廠所得利潤最大．
（3）當0≤x≤5時，由y=-0.5+4.75x-≥0，得0≤x≤5，x∈Z；
當x＞5時，由y=12-0.25x≥0，得5＜x≤48，x∈Z．
當年產量x滿足1≤x≤48，x∈Z時，工廠不虧本．
分析：（1）利潤函數=銷售收入函數-成本函數，討論x的大小，由此能夠利用分段函數表示出年利潤y表示為年產量x（x＞0）的函數．
（2）由利潤函數是分段函數，分段求出最大值，利用二次函數的性質求出函數取最大值時對應的自變量x的值，比較兩段的最大值即可求出所求．
（3）令利潤函數不小于，能夠求出年產量是多少時，工廠才不虧本．
點評：本題考查了函數的生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意二次函數和分段函數性質的合理運用．