Question

若函數f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在區間內恒有f（x）＜0，則y=f（x）的單調遞增區間為________．

Answer 1

分析：由題意，可先研究t=2x²+x在區間內的取值范圍，結合函數f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在區間內恒有f（x）＜0推斷出a的取值范圍，確定出外層函數的單調性，再令2x²+x＞0解出函數的定義域，由于內層函數是一個二次函數，找出內層函數在單調區間，由復合函數的單調性即可確定出y=f（x）的單調遞增區間
解答：令t=2x²+x=2（x+）²+
∵x∈，故有t∈（，）
又函數f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在區間內恒有f（x）＜0
∴a∈（0，1），故函數f（x）=log_a（2x²+x）的外層函數是一個減函數
令2x²+x＞0，解得x＞0或x＜-，即函數的定義域是∪（0，+∞）
由于t=2x²+x在上是一個減函數，在（0，+∞）上是一個增函數，由復合函數的單調性知，y=f（x）的單調遞增區間為
故答案為
點評：本題考查對數函數的單調性，二次函數的單調性及兩者復合的復合函數單調性，解題的關鍵是理解題意，由函數f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在區間內恒有f（x）＜0，推斷出外層函數是一個減函數，熟練掌握復合函數單調性的判斷方法也很關鍵，本題考查了推理判斷能力