Question

若函數f(x)=x2+

m

x

在區間（2，+∞）上單調遞增，則實數m的取值范圍是

（-∞，16]

．

Answer 1

分析：根據函數的導數與單調性的關系，函數f(x)=x2+

m

x

在區間（2，+∞）上單調遞增，只需f′（x）≥0在區間[2，+∞）上恒成立，考慮用分離參數法求解．

解答：解：根據函數的導數與單調性的關系，函數f(x)=x2+

m

x

在區間（2，+∞）上單調遞增，只需f′（x）≥0在區間[2，+∞）上恒成立．
由導數的運算法則，f′(x)=2x -

m

x2

=

2x3-m

x2

≥0
即得m≤2x³，m只需小于等于2x³的最小值即可，由x＞2，∴m≤16
故答案為 （-∞，16]

點評：本題考查函數的導數與單調性關系的應用，不等式恒成立問題，考查轉化、計算、邏輯思維能力．