Question

13．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數n，點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，且過點P_n（n，S_n）的切線的斜率為k_n．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{k}_{n}+1）}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，可得S_n=n²+2n，利用遞推關系可得a_n．
（II）f′（x）=2x+2，過點P_n（n，S_n）的切線的斜率為k．可得k_n=2n+2．b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{k}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，再利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，∴S_n=n²+2n，
n=1時，a₁=3；n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
當n=1時上式也成立，∴a_n=2n+1．
（II）f′（x）=2x+2，過點P_n（n，S_n）的切線的斜率為k．
∴k_n=2n+2．∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{k}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{n}{6n+9}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系、“裂項求和”方法、導數的幾何意義、函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．