Question

（12分）直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點A、B。

（1）求實數k的取值范圍；

（2）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值。若不存在，說明理由。

Answer 1

（1），（2）

【解析】

試題分析：（1）聯立直線與雙曲線方程得到關于x的方程，由題意知方程兩個不等正實根，利用判別式與韋達定理即可（2）有關直線與圓錐曲線位置關系的探索性問題，一般是先假設存在滿足題意的元素，經過推理論證，如果得到可以成立的結果，就可作出存在的結論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質相矛盾的結果，則說明假設不存在．

試題解析：（1）聯立消y 得方程有兩不等的正根 解得

（2）假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F（c，0）．

則由FA⊥FB得：（x1﹣c）（x2﹣c）+y1y2=0．即（x1﹣c）（x2﹣c）+（kx1+1）（kx2+1）=0．

整理得③

把②式及代入③式化簡得．

解得

可知使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點

考點：直線與雙曲線的綜合應用