Question

17．已知數列{a_n}的通項公式為a_n=3ⁿ，記數列{a_n}的前n項和為S_n，若?n∈N^*使得（S_n+$\frac{3}{2}}$）k≥3n-6成立，則實數 k的取值范圍是$[{-\frac{2}{3}，+∞}）$．

Answer 1

分析 利用等比數列的求和公式可得S_n，代入（S_n+$\frac{3}{2}}$）k≥3n-6，化簡利用數列的單調性即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}的通項公式為a_n=3ⁿ，
∴數列{a_n}是等比數列，公比為3，首項為3．
∴S_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$，
∴（S_n+$\frac{3}{2}}$）k≥3n-6化為：k≥$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，
∵?n∈N^*使得（S_n+$\frac{3}{2}}$）k≥3n-6成立，∴k≥$（\frac{2n-4}{{3}^{n}}）_{min}$．
令b_n=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，則b_n+1-b_n=$\frac{2n-2}{{3}^{n+1}}$-$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$=$\frac{6-2n}{{3}^{n+1}}$，
n≤3時，b_n+1≥b_n；n≥4時，b_n+1＜b_n．
∴b₁＜b₂＜0＜b₃=b₄＞b₅＞…＞0．
∴$（\frac{2n-4}{{3}^{n}}）_{min}$=b₁=$-\frac{2}{3}$．
∴$k≥-\frac{2}{3}$．
故答案為：$[{-\frac{2}{3}，+∞}）$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、不等式的化簡、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．