Question

函數f（x）=（msinx-cosx）cosx+cos²（

π

2

-x）滿足f（

π

4

）=

3

．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調增區間；
（2）若△ABC所對應邊分別為a、b、c，且a=2，b+c=3，f（A）=2，求△ABC面積．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數的周期性及其求法,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由f（

π

4

）=

3

，結合f（x）解析式求出m的值，確定出解析式，利用周期公式求出最小正周期，利用正弦函數的單調性確定出f（x）遞增區間即可；
（2）由f（A）=2，求出A的度數，利用余弦定理列出關系式，把cosA的值代入并利用完全平方公式化簡，把a，b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（1）由f（

π

4

）=

3

，得到

2

2

（

2

2

m-

2

2

）+

1

2

=

3

，即m=2

3

，
∴f（x）=2

3

sinxcosx-cos²x+sin²x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，∴T=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
則f（x）的遞增區間為：[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（2）由f（A）=2，得到2sin（2A-

π

6

）=2，即sin（2A-

π

6

）=1，
可得2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，即4=9-3bc，
解得：bc=

5

3

，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

5 3

12

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．