Question

已知S_n是等比數列{a_n}的前n項和，若S₄=10，且a₅，a₃，a₄成單調遞增的等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂a_2n（n∈N^*），求數列{

bn

an

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．
（II）b_n=log₂a_2n=2n，可得

bn

an

=

2n

(-2)n

，利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）設等比數列{a_n}的公比為q≠1，
∵S₄=10，且a₅，a₃，a₄成單調遞增的等差數列．
∴a1(1+q+q2+q3)=10，2a₃=a₅+a₄，即2a1q2=a1q4+a1q3，化為q²+q-2=0，解得q=-2，
∴

q=-2 a1=-2

．
∴a₅=-32，a₃=-8，a₄=16，滿足成單調遞增的等差數列．
∴a_n=-2×（-2）^n-1=（-2）ⁿ．
（II）b_n=log₂a_2n=2n，
∴

bn

an

=

2n

(-2)n

，
∴T_n=

2

-2

+

4

(-2)2

+

6

(-2)3

+…+

2(n-1)

(-2)n-1

+

2n

(-2)n

，
-2T_n=2+

4

-2

+

6

(-2)2

+…+

2n

(-2)n-1

，
∴-3T_n=2+

2

-2

+

2

(-2)2

+…+

2

(-2)n-1

-

2n

(-2)n

=2×

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

-

2n

(-2)n

=

4

3

[1-(-

1

2

)n]-

2n

(-2)n

，
化為T_n=

4+6n

9•(-2)n

-

4

9

．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．