Question

在長度為10的線段內任取兩點將線段分為三段，
（1）求這三段可以構成三角形的概率；
（2）若分成的三段長度恰好都為整數，求這三段能構成三角形的概率．

Answer 1

分析：（1）設分成的兩段分別為x、y，則第三段為10-x-y，得到所有情況下的不等式組和能構成三角形的不等式組，在坐標系內作出兩個不等式組對應的平面區域，分別計算它們的面積，用幾何概型計算公式即可得到三段能構成三角形的概率．
（2）用列舉的方法，找出三段均為正整數的所有情況總數，再從中找出能構成三角形的情況數，用古典概型計算公式即可算出三段能構成三角形的概率．

解答：解：（1）設分成的兩段分別為x、y，則第三段為10-x-y，則有

x＞0 y＞0 10-x-y＞0

，…（1）
如果能構成三角形，則有

x+y＞10-x-y x+(10-x-y)＞y y+(10-x-y)＞x

，即

x+y＞5 y＜5 x＜5

（2）
在坐標系內作出兩個不等式組對應的平面區域，得到如圖所示
不等式（1）對應的區域為△OAB及其內部，其中A（0，10），B（10，0），O為坐標原點
不等式（2）對應的區域為△CDE及其內部，其中C（0，5），D（5，0），E（5，5）
∵S_△OAB=

1

2

×10×10=50，S_△CDE=

1

2

×5×5=

25

2

，
∴分成的三段能構成三角形的概率為P₁=

S △CDE

S△OAB

=

1

4

（2）將該線段分成三段均為正整數，只要確定其中兩邊長度即可得到三邊長度
∵其中兩段的情況共有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（2，1），（2，2），…（8，1）共36種，
能構成三角形的情況有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6種，
∴分成的三段長度恰好都為整數且這三段能構成三角形的概率為P₂=

6

36

=

1

6

答：（1）分成的三段能構成三角形的概率為

1

4

；（2）分成的三段長度恰好都為整數且這三段能構成三角形的概率為

1

6

．

點評：本題給出長度為10的線段分成3段，求這三段能構成三角形的概率，著重考查了幾何概型、古典概型等計算公式知識，屬于中檔題．