Question

2．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，記z=ax-y（其中a＞0）的最小值為f（a），若f（a）≥-$\frac{2}{5}$，則實數a的最小值為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數求得f（a），再由f（a）≥-$\frac{2}{5}$，求得實數a的最小值．

解答 解：由實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，作出可行域如圖，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x+5y-25=0}\end{array}\right.$，得A（1，$\frac{22}{5}$），
由z=ax-y，得y=ax-z，由圖可知，當直線y=ax-z過A時，直線在y軸上的截距最大，
z有最小值為f（a）=a-$\frac{22}{5}$．
由f（a）≥-$\frac{2}{5}$，得a-$\frac{22}{5}$≥-$\frac{2}{5}$，∴a≥4，即a的最小值為4，
故選：B．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．