Question

13．已知A（1，3），B（a，1），C（-b，0），（a＞0，b＞0），若A，B，C三點(diǎn)共線，則$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是11+6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由A（1，3），B（a，1），C（-b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三點(diǎn)共線，可得k_AB=k_AC，化為3a+2b=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵A（1，3），B（a，1），C（-b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三點(diǎn)共線，
∴k_AB=k_AC，$\frac{3-1}{1-a}$=$\frac{3-0}{1+b}$，化為3a+2b=1．
則$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$=（3a+2b）$（\frac{3}{a}+\frac{1}{b}）$=11+$\frac{6b}{a}+\frac{3a}{b}$≥11+3×2×$\sqrt{\frac{2b}{a}×\frac{a}{b}}$=11+6$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$b時(shí)取等號(hào)．
故答案為：11+6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．