Question

已知

a

，

b

是非零向量，且滿足（

a

-2

b

）⊥

a

，（

b

-2

a

）⊥

b

，則

a

與

b

的夾角是

60°

．

Answer 1

分析：由兩個向量垂直的性質可得

a

2= 2

a

•

b

，

b

2= 2

a

•

b

，從而得到|

a

|=|

b

|，故

a

2= 2

a

•

b

即|

a

|•|

a

|=2|

a

|•|

a

|cosθ，求出 cosθ 的值，從而得到θ的值．

解答：解：設

a

與

b

的夾角是θ，∵（

a

-2

b

）⊥

a

，∴（

a

-2

b

）•

a

=0，∴

a

2= 2

a

•

b

．
同理，由（

b

-2

a

）⊥

b

，可得

b

2= 2

a

•

b

，∴|

a

|=|

b

|．
故

a

2= 2

a

•

b

 即|

a

|•|

a

|=2|

a

|•|

a

|cosθ，∴cosθ=

1

2

，∴θ=60°．
故答案為：60°．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量垂直的性質，根據三角函數的值求角，求得|

a

|=|

b

|是解題的關鍵，屬于中檔題．