Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c．
（1）若cosA=

5

5

，cosB=

10

10

，求cos（A+B）和∠C大小；
（2）若a²-c²=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b的值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由cosA與cosB的值，利用同角三角函數間基本關系求出sinA與sinB的值，再利用兩角和與差的余弦函數公式求出cos（A+B）的值，進而確定出cosC的值，確定出C的度數；
（2）已知第二個等式利用正弦定理與余弦定理化簡，整理得到關系式，記作（i），與已知第一個等式聯立求出b的值即可．

解答： 解：（1）∵cosA=

5

5

，cosB=

10

10

，且A與B為三角形內角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 5

5

，sinB=

1-cos2B

=

3 10

10

，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=-

2

2

，
又A+B+C=π，∴C=π-（A+B），
∴cosC=-cos（A+B）=

2

2

，
則C=

π

4

；
（2）由sinAcosC+3cosAsinC=0，利用正弦定理和余弦定理得：a•

a2+b2-c2

2ab

+3•

b2+c2-a2

2bc

•c=0，
整理得：a²-c²=2b²，（i）
又∵a²-c²=8b，（ii）
聯立（i） 和 （ii）可得2b²=8b，
解得：b=0（舍去）或b=4，
則b的值為4．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數間的基本關系，以及誘導公式的作用，熟練掌握定理是解本題的關鍵．