Question

定義方程f（x）=f′（x）的實數根x₀叫做函數f（x）的“新駐點”，若函數g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-lg（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x³-1的“新駐點”分別為α，β，γ，則α，β，γ的大小關系為（　　）

• A、α＞β＞γ
• B、β＞α＞γ
• C、γ＞α＞β
• D、β＞γ＞α

Answer 1

分析：分別對g（x），h（x），φ（x）求導，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），則它們的根分別為α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=

1

β+1

，γ³-1=3γ²，然后分別討論β、γ的取值范圍即可．

解答：解：∵g′（x）=1，h′（x）=

1

x+1

，φ′（x）=3x²，
由題意得：
α=1，ln（β+1）=

1

β+1

，γ³-1=3γ²，
①∵ln（β+1）=

1

β+1

，
∴（β+1）^β+1=e，
當β≥1時，β+1≥2，
∴β+1≤

e

＜2，
∴β＜1，這與β≥1矛盾，
∴0＜β＜1；
②∵γ³-1=3γ²，且γ=0時等式不成立，
∴3γ²＞0
∴γ³＞1，
∴γ＞1．
∴γ＞α＞β．
故選C．

點評：函數、導數、不等式密不可分，此題就是一個典型的代表，其中對對數方程和三次方程根的范圍的討論是一個難點．