Question

函數f（x）=3cos²

ωx

2

+

3

2

sinωx-

3

2

（ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為等邊三角形．將函數f（x）的圖象上各點的橫坐標變為原來的π倍，
將所得圖象向右平移

2π

3

個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象
（1）求函數g（x）的解析式及函數g（x）的對稱中心．
（2）若3sin²

π

2

-

3

m[g（x）-1]≥m+2對任意x∈[0，2π]恒成立，
求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據已知先化簡求出f（x）的解析式，從而根據正弦函數圖象變換規律可求函數g（x）的解析式及函數g（x）的對稱中心．
（2）據已知有m≤

3sin2 x 2 -2

3sin x 2 +1

，設t=3sin

x

2

+1，則根據函數y=

1

3

（t-

5

t

-2）在t∈[1，4]上是增函數，可解得m≤-2．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin（ωx+

π

3

），T=4，
∴ω=

π

2

，
∴f（x）=

3

sin（

π

2

x+

π

3

），
g（x）=

3

sin[

1

2

（x-

2π

3

）+

π

3

]+1=

3

sin

x

2

+1，
∵令

x

2

=kπ，k∈Z，
∴x=2kπ，k∈Z，對稱中心為（2kπ，1），k∈Z，
（2）3sin²

x

2

-3msin

x

2

-m-2≥0，設sin

x

2

∈[0，1]，
有m≤

3sin2 x 2 -2

3sin x 2 +1

，設t=3sin

x

2

+1，t∈[1，4]，則sin

x

2

=

t-1

3

，
y=

3• 1 9 (t-1)2-2

t

=

t2-2t-5

3t

=

1

3

（t-

5

t

-2）在t∈[1，4]上是增函數，
∴t=1時，y_min=-2，
∴m≤-2．

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象與性質，函數值域的確定，考查了轉化思想，屬于中檔題．