Question

8．已知公差不為零的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，S₁₀=55，且a₂、a₄、a₈成等比數列．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$（n∈N^*），求b₁+b₅+b₉+…+b_4n-3的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設公差d不為零的等差數列{a_n}，運用等比數列的中項性質和等差數列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，進而得到通項公式；
（Ⅱ）求得b_n，得到{b_4n-3}是首項為1，公差為2的等差數列，運用等差數列求和公式，化簡即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設公差d不為零的等差數列{a_n}，
由a₂、a₄、a₈成等比數列，
可得：${a_4}^2={a_2}×{a_8}$，
即${（{{a_1}+3d}）^2}=（{{a_1}+d}）（{{a_1}+7d}）$，
∴d²=a₁d，又∴d≠0，a₁=d…（2分）
又因為${S_{10}}=10{a_1}+\frac{10×9}{2}×d=55$，
∴a₁=d=1∴a_n=n．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知${b_n}=\frac{{\frac{{n（{n+1}）}}{2}}}{n}=\frac{n+1}{2}$，
可知{b_4n-3}是首項為1，公差為2的等差數列．…（8分）
則b₁+b₅+b₉+…+b_4n-3=1+3+5+…+（2n-1）
=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）=n²．…（12分）

點評 本題考查等差數列的通項公式和求和公式的運用，同時考查等比數列的中項的性質，考查運算化簡能力，屬于中檔題．