Question

（本題滿分16分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：（t為常數(shù)，且）．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，試求t的值，使數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）在（2）的情形下，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)
任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）見解析（3）

（1）當(dāng)時(shí)，，得．   2分
當(dāng)..時(shí)，由，即，①
得，，②
①②，得，即，所以，
所以是首項(xiàng)和公比均為t的等比數(shù)列，于是．       5分
（2）由（1）知，，即，      7分
要使數(shù)列為等比數(shù)列，必須滿足，
而，
于是，解得，    
當(dāng)時(shí)，，
由，知是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列．      10分
（3）由（2）知， ，
所以，                   
由不等式恒成立，得恒成立，       12分
設(shè)，由，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，        14分
而，所以，即．  
故k的取值范圍是．       16分
【命題意圖】本題考查等比數(shù)列、數(shù)列前項(xiàng)和等知識(shí) ，意在考查運(yùn)算求解能力，數(shù)學(xué)綜合論證能力.