Question

已知數(shù)列{}的首項=5，前項和為，且

（I）證明數(shù)列{+1}是等比數(shù)列；

（II）令，求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)并比較2與的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知

∴時，

兩式相減，得

，

即，

從而，

當時

∴

又，∴，

從而     

故總有，、

又∵，

∴

從而

即是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。

（II）由（I）知。

∵

∴。

從而    

=

=

=

=

=。

由上  

      （*）

當時，（*）式=0

∴；

當時，（*）式=－12<0

∴

當時，

又

∴

即（*）>0

從而

（或用數(shù)學(xué)歸納法：時，猜想   

由于，只要證明。事實上，

      1*     當 時，

      不等式成立，

      2*  設(shè)時（k≥3），有

      則   

           

            .

∵ ，∴.

從而

          

即 時，亦有.

綜上1*、2*知，  對，n∈N* 都成立。

∴時，有）

綜上    n=1時，

        n=2時，

        n≥3時，