Question

已知數列{a_n}的首項a₁=a，其中a∈N^*，an+1=

an 3 ，an=3l，l∈N* an+1，an≠3l，l∈N*

，令集合A={x|x=an，n∈N*}．
（1）若a₃是數列{a_n}中首次為1的項，請寫出所有這樣數列的前三項；
（2）求證：對?k∈N^*，恒有ak+3≤

1

3

ak+2成立；
（3）求證：{1，2，3}⊆A．

Answer 1

分析：（1）根據數列遞推式，結合a₃是數列{a_n}中首次為1的項，可得結論；
（2）分類討論，a_k被3除余1，2，0，結合數列遞推式，即可得出結論；
（3）先證明若a_k＞3，則a_k＞a_k+3，再證明數列{a_n}中必存在某一項a_m≤3，即可得出結論．

解答：（1）解：由題意，2，3，1；9，3，1；
（2）證明：若a_k被3除余1，則由已知可得a_k+1=a_k+1，ak+2=ak+2，ak+3=

1

3

(ak+2)；
若a_k被3除余2，則由已知可得a_k+1=a_k+1，ak+2=

1

3

(ak+1)，ak+3≤

1

3

(ak+1)+1；
若a_k被3除余0，則由已知可得ak+1=

1

3

ak，ak+3≤

1

3

ak+2，所以ak+3≤

1

3

ak+2，
（3）證明：由（2）可得ak-ak+3≥ak-(

1

3

ak+2)=

2

3

(ak-3)，
所以，對于數列中的任意一項a_k，“若a_k＞3，則a_k＞a_k+3”．
因為ak∈N*，所以a_k-a_k+3≥1．
所以數列{a_n}中必存在某一項a_m≤3（否則會與上述結論矛盾！）
若a_m=3，則a_m+1=1，a_m+2=2；若a_m=2，則a_m+1=3，a_m+2=1，若a_m=1，則a_m+1=2，a_m+2=3，
由遞推關系易得{1，2，3}⊆A．

點評：本題考查數列遞推式，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．