Question

已知數列{a_n}的首項a₁=5，前n項和為S_n，
且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）證明數列{a_n+1}是等比數列；
（Ⅱ）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函數f（x）在點x=1處的導數f'（1）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據S_n+1=2S_n+n+5可得到S_n=2S_n-1+n+4，然后兩式相減可得到S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，即a_n+1=2a_n+1然后兩邊同時加1即可得到a_n+1+1=2（a_n+1），即

an+1+1

an+1

=2．從而得證．
（Ⅱ）先根據（Ⅰ）求出a_n的通項公式，再對函數f（x）進行求導，得到f'（x）的表達式，然后將a_n的表達式代入進行分組求和即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知S_n+1=2S_n+n+5，∴n≥2時，S_n=2S_n-1+n+4，
兩式相減，得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即a_n+1=2a_n+1，從而a_n+1+1=2（a_n+1）．
當n=1時，S₂=2S₁+1+5，∴a₁+a₂=2a₁+6又a₁=5，∴a₂=11，
從而a₂+1=2（a₁+1）．故總有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N*．
又∵a₁=5，，∴a_n+1≠0，從而

an+1+1

an+1

=2．
即{a_n+1}是以a₁+1=6為首項，2為公比的等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=3×2ⁿ-1．
∵f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ∴f'（x）=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1．
從而f'（1）=a₁+2a₂+…+na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n）
=3[n×2n+1-(2+…+2n)]-

n(n+1)

2

=3[n×2n+1-2n+1+2]-

n(n+1)

2

=3(n-1)•2n+1-

n(n+1)

2

+6．

點評：本題主要考查等比數列的證明、求導運算和數列的分組求和．考查基礎知識的綜合運用和計算能力．