Question

若函數f（x）=1+

2x+1

2x+1

+sinx在區間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，則m+n=（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、4

Answer 1

考點：函數的值域,函數的定義域及其求法

專題：

分析：本題可以先構造奇函數g（x）=

2x+1

2x+1

+sinx-1，由于奇函數圖象的對稱性，得到函數值域的對稱，再對應研究函數f（x）的值域，得到本題結論．

解答： 解：記g（x）=

2x+1

2x+1

+sinx-1，
∴g（-x）=

21-x

2-x+1

+sin(-x)-1
=

2

1+2x

-sinx-1，
∴g（-x）+g（x）=

2x+1

2x+1

+sinx-1+

2

1+2x

-sinx-1=0，
∴g（-x）=-g（x）．
∴函數g（x）在奇函數，
∴函數g（x）的圖象關于原點對稱，
∴函數g（x）在區間[-k，k]（k＞0）上的最大值記為a，（a＞0），
則g（x）在區間[-k，k]（k＞0）上的最小值為-a，
∴-a≤

2x+1

2x+1

+sinx-1≤a，
∴-a+2≤

2x+1

2x+1

+sinx+1≤a+2，
∴-a+2≤f（x）≤a+2，
∵函數f（x）=1+

2x+1

2x+1

+sinx在區間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，
∴m=-a+2，n=a+2，
∴m+n=4．
故選D．

點評：本題考查了奇函數性的對稱懷和值域，還考查了構造法，本題難度適中，屬于中檔題．