Question

已知函數f（x）=log_a

1+x

1-x

，（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并予以證明；
（Ⅲ）當a＞1時，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據對數函數的定義，得到不等式，解得即可，
（Ⅱ）根據函數的奇偶性的定義即可證明；
（Ⅲ），因為a＞0，所以函數為增函數，故f（x）＞0，轉化為

1+x

1-x

＞1，解得即可

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=log_a

1+x

1-x

，
∴

1+x

1-x

＞0，即（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
∴函數f（x）的定義域為（-1，1），
（Ⅱ）∵f（-x）=log_a

1-x

1+x

=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），
∴函數為奇函數，
（Ⅲ）∵a＞1時，f（x）＞0，
∴log_a

1+x

1-x

＞log_a1，
∴

1+x

1-x

＞1，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集為（0，1）

點評：本題考查對數函數的定義和性質，函數的奇偶性，以及不等式的解法，屬于基礎題