Question

【題目】已知函數，（，是自然對數的底數）．

（1）討論的單調性；

（2）當時，，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求得，然后對分成和兩種情況進行分類討論，由此求得的單調區間.

（2）首先令，代入，求得的一個取值范圍.構造函數，利用的導函數研究的最小值，由此求得的取值范圍.

（1），

當時，，函數在上遞減；

當時，由，解得，故函數在上單調遞減，

由，解得，故函數在上單調遞增．

綜上所述，當時，在上遞減；當時，在上遞減，在上遞增.

（2）當時，，

即，故，

令

，

則，

若，則當時，，

函數在上單調遞增，

當時，

，

當時，單調遞增，

則，符合題意；

若，則，

，

由得，

故，

存在，使得，

且當時，，

在上單調遞減，

當時，，不合題意，

綜上，實數的取值范圍為．