Question

【題目】已知函數，其中常數．

（1）當時，求函數的單調區間．

（2）設定義在上的函數在點處的切線方程為．當時，若在內恒成立，則稱為函數的“類對稱點”．當時，是否存在“類對稱點”？若存在，請求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（2）存在，橫坐標為.

【解析】

（1）由題得的定義域為，，由求得單調增區間，由求得單調減區間即可.

（2）當時，,求得在處的切線方程，求得，然后根據“類對稱點”的定義求“類對稱點”的橫坐標即可.

解：（1）函數的定義域為．

．

．

由，即，得或．

由，得.

∴函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．

（2）存在．

當時，，

∴在點處的切線的斜率為，

∴在點處的切線方程為．

令，

則．

，

令，得或．

①當，即時，

令，則，

∴函數在區間上單調遞減，

又易知，∴當時，，從而有時，．

②當，即時，

令，則，

∴函數在區間上單調遞減，

∴當時，，從而有時，．

綜合①②，當時，函數不存在“類對稱點”．

③當即時，

，∴函數在上是增函數．

若，則；

若，則．故恒成立．

綜上，當時，函數存在“類對稱點”，其橫坐標為．