Question

6．若數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n+a_n=2n，求a_n以及S_n．

Answer 1

分析 推導出2a_n-a_n-1=2，n≥2，從而數列{a_n-2}以-1為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數列，由此能求出結果．

解答 （本小題滿分10分）
解：∵S_n+a_n=2n，①
∴S_n-1+a_n-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，n≥2，…（3分）
∴2（a_n-2）=a_n-1-2，n≥2，
∵a₁-2=-1，
∴數列{a_n-2}以-1為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數列．…（6分）
∴${a}_{n}-2=-（\frac{1}{2}）^{n-1}$，∴${a}_{n}=2-（\frac{1}{2}）^{n-1}$，…（8分）
∵S_n+a_n=2n，∴${S}_{n}=2n-{a}_{n}=2n-2+（\frac{1}{2}）^{n-1}$…（10分）．

點評 本題考查數列的通項公式及前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．