Question

12．定義在R上的函數f（x）滿足f（1）=1，且2f′（x）＜1，當x∈[0，2π]時，不等式f（2cosx）＜2cos²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$的解集為$[{0，\frac{π}{3}}）∪（{\frac{5π}{3}，2π}]$．

Answer 1

分析 設g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，可得g（x）在R上遞減，求出g（1），運用二倍角余弦公式，將原不等式化為f（2cosx）-cosx＜$\frac{1}{2}$，即g（2cosx）＜g（1），由單調性可得2cosx＜1，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：設$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}x，g'（x）=f'（x）-\frac{1}{2}＜0$，$g（1）=f（1）-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
不等式$f（{2cosx}）＜2{cos^2}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$，
可化為$f（{2cosx}）-cosx＜\frac{1}{2}，即g（{2cosx}）＜g（1）$，
由于$g（x）單調遞減，2cosx＞1，即cosx＞\frac{1}{2}$，
當x∈[0，2π]時，
∴$x∈[{0，\frac{π}{3}}）∪（{\frac{5π}{3}，2π}]$．
故答案為：$[{0，\frac{π}{3}}）∪（{\frac{5π}{3}，2π}]$．

點評 本題考查導數的運用：判斷單調性，考查構造函數法和運用單調性解不等式，考查運算能力，屬于中檔題．