Question

6．等比數列$\left\{{a_n}\right\}滿足：{a_1}=b-1（b＞0且b≠1），{S_2}={b^2}-1$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）當b=2時，記${b_n}=\frac{n+1}{{4{a_n}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出a₂，進一步得到公比，則數列{a_n}的通項公式可求；
（2）把數列{a_n}的通項公式代入${b_n}=\frac{n+1}{{4{a_n}}}$，利用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵a₁=b-1，${S}_{2}=^{2}-1$，
∴${a}_{1}+{a}_{2}=b-1+{a}_{2}=^{2}-1$，則${a}_{2}=^{2}-b$，
又數列{a_n}是等比數列，∴公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{^{2}-b}{b-1}=b$．
∴${a}_{n}=（b-1）•^{n-1}$；
（2）當b=2時，${a}_{n}={2}^{n-1}$，
則${b_n}=\frac{n+1}{{4{a_n}}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{4}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}+\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
則$\frac{{T}_{n}}{2}=\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}+\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
兩式作差可得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+（\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}）-\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$．
∴${T}_{n}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題．