Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f（x）=2^-x，設函數f（x）的值域為集合A．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式和集合A；
（Ⅱ）設函數g（x）=lg[-x²+（a-1）x+a]的定義域為集合B，且A⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,交集及其運算

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由已知的函數解析式結合函數為偶函數求得函數在x＜0時的解析式，則函數在整個定義域中的解析式可求；
（Ⅱ）把函數g（x）=lg[-x²+（a-1）x+a]的定義域包含集合A轉化為對于任意的x∈[0，1]，-x²+（a-1）x+a＞0恒成立，由此列不等式組求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設x＜0，則-x＞0，由f（x）是偶函數，
∴f（x）=f（-x）=2^x．
∴f(x)=

2-x，x≥0 2x，x＜0

．
由f（x）=2^-x，x≥0，得f（x）∈（0，1]．
由f（x）=2^x，x＜0，得f（x）∈（0，1）．
∴函數f（x）的值域集合A=[0，1]；
（Ⅱ）函數g（x）=lg[-x²+（a-1）x+a]的定義域為集合B，且A⊆B，
說明對于任意的x∈[0，1]，-x²+（a-1）x+a＞0恒成立．
即

a＞0 -12+(a-1)×1+a＞0

，解得：a＞1．
∴實數a的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查了函數奇偶性的性質，考查了函數解析式的求法，訓練了轉化思想方法在解題中的應用，是中檔題．