Question

與拋物線y²=8x相切傾斜角為135⁰的直線l與x軸和y軸的交點分別是A和B，那么過A、B兩點的最小圓截拋物線y²=8x的準線所得的弦長為（　　）

• A、4
• B、2

  2

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由已知設出切線方程為x+y+c=0，聯立拋物線方程后，可得c值，進而可得A、B兩點的坐標，及過A、B兩點的最小圓的方程，最后由勾股定理求出弦長．

解答： 解：由切線的傾斜角為135°，可設切線方程為x+y+c=0，
代入y²=8x得：y²+8y+8c=0，
由△=64-32c=0得c=2，
故切線方程為x+y+2=0，
故A，B兩點的坐標分別為（-2，0），（0，-2），
則過AB兩點最小的圓為（x+1）²+（y+1）²=2，
由圓心（-1，-1）到拋物線y²=8x準線x=-2的距離為1，
故過A、B兩點的最小圓截拋物線y²=8x的準線所得的弦長為2

2 2-1

=2，
故選：C

點評：本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，直線的方程，直線與圓的位置關系，難度中檔．