Question

如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系O－xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．

(1)當點P為對角線AB的中點，點在Q在棱CD上運動時，探究|PQ|的最小值；

(2)當點Q為棱CD的中點，點P在對角線上運動時，探究|PQ|的最小值．

Answer 1

答案：略
解析：

解：設正方體棱長為2a，則A(2a，2a，0)，B(0，0，2a)，C(0，2a，0) D(0，2a，2a)，O(0，0，0)， (1)∵P為AB的中點，∴設P點坐標為(a，a，a) 又Q點在CD上運動，∴設Q點坐標為(0，2a，z) ∴ 當且僅當a=z時，|PQ|最小，最小值為，此時，P、Q在平行于xOy平面的平面上． (2)連結BQ、QA，則△AQB為等腰三角形，∴|PQ|的最小值為過Q作BA的垂線段的長，即P為AB中點，其最小值為．