Question

如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系O-xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．

(1)當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，探究的最小值；

(2)當點Q為棱CD的中點，點P在對角線AB上運動時，探究的最小值；

(3)當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究的最小值．

由以上問題，你得到了什么結論，你能證明你的結論嗎？

Answer 1

答案：略
解析：

解：設正方體的棱長為a． (1)當點P為對角線AB的中點時，點P的坐標是 因為點Q在線段CD上，設Q(0，a，z)． 當時，的最小值為，即點Q在CD的中點時，有最小值． (2)因為P在對角線AB上運動，Q是定點，所以當PQ⊥AB時，最短．因為當點Q為棱CD的中點時，△QAB是等腰三角形，所以，當P是AB的中點時，取得最小值． (3)當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，的最小值仍然是． 證明如下：如圖，設由正方體的對稱性，顯然有x=y． 設P在平面OA上的射影是H．在△AOB中，所以即有 所以，點P的坐標是 由已知，可設則 當時，取得最小值，最小值是．