Question

請您設計一個帳篷.它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如下圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心O₁的距離為多少時，帳篷的體積最大？

Answer 1

解：設OO₁為xm,則1＜x＜4,由題設可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）：=,故底面正六邊形的面積為（單位：m²）：6·?·()²=·(8+2x-x²),

帳篷的體積為（單位：m³）：V_(x)=  (8+2x-x²)［(x-1)+1］=(16+12x-x³),

求導得V′(x)=  (12-3x²).

令V′(x)=0,解得x=-2（不合題意，舍去），x=2.

當1＜x＜2時，V′(x)＞0,V(x)為增函數(shù)；

當2＜x＜4時，V′(x)＜0,V(x)為減函數(shù).

∴當x=2時，V(x)最大.

答：當OO₁為2 m時，帳篷的體積最大，最大體積為16m³.