Question

14．已知拋物線y²=2px（p＞0）上的一點M（1，t）（t＞0）到焦點的距離為5，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數a的值為2．

Answer 1

分析 設M點到拋物線準線的距離為d，由已知可得p值，由雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則$\frac{4}{1+a}$=$\frac{3}{a}$，解得實數a的值．

解答 解：設M點到拋物線準線的距離為d，
則丨MF丨=d=1+$\frac{p}{2}$=5，則p=8，
所以拋物線方程為y²=16x，M的坐標為（1，4）；
又雙曲線的左頂點為A（-a，0），漸近線為y=±$\frac{3}{a}$，
直線AM的斜率k=$\frac{4-0}{1+a}$=$\frac{4}{1+a}$，由$\frac{4}{1+a}$=$\frac{3}{a}$，解得a=3．
∴a的值為3，
故答案為：3．

點評 本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，雙曲線的簡單性質，是拋物線與雙曲線的綜合應用，屬于中檔題．