Question

9．已知圓x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（0＜a≤4）的圓心為C，直線l：y=x+4．
（Ⅰ）寫出該圓的圓心坐標及半徑；
（Ⅱ）求直線l被圓C所截得弦長的最大值．

Answer 1

分析 （1）將圓的方程轉化為標準方程求得圓心C的坐標和半徑；
（2）求得圓心C到直線l的距離，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系得L=2$\sqrt{2{a}^{2}-（\sqrt{2}|2-a|）^{2}}$=2$\sqrt{-2（a-3）^{2}+10}$，最后由二次函數法求解．

解答 解：（1）已知圓的標準方程是（x+a）²+（y-a）²=4a（0＜a≤4），
則圓心C的坐標是（-a，a），半徑為2$\sqrt{a}$．
（2）直線l的方程化為：x-y+4=0．則圓心C到直線l的距離是=$\frac{|4-2a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|2-a|．
設直線l被圓C所截得弦長為L，由圓弦長、圓心距和圓的半徑之間關系是：
L=2$\sqrt{2{a}^{2}-（\sqrt{2}|2-a|）^{2}}$=2$\sqrt{-2（a-3）^{2}+10}$，
∵0＜a≤4，∴當a=3時，L的最大值為2$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系及其方程的應用，主要涉及了直線與圓相交，由圓心距，半徑和圓的弦長構成的直角三角形．