Question

10．已知各項為正的數列{a_n}是等比數列，a₁=2，a₅=32，數列{b_n}滿足：對于任意n∈N^*，有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令f（n）=a₂+a₄+…+a_2n，求$\underset{lim}{n→∞}\frac{f（n+1）}{f（n）}$的值；
（3）求數列{b_n}通項公式，若在數列{a_n}的任意相鄰兩項a_k與a_k+1之間插入b_k（k∈N^*）后，得到一個新的數列{c_n}，求數列{c_n}的前100項之和T₁₀₀．

Answer 1

分析 （1利用q=$\root{4}{\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}}$，即可得出．
（2）利用等比數列的求和公式可得f（n）=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$，f（n+1）=$\frac{4}{3}（{4}^{n+1}-1）$．再利用極限的運算法則即可得出．
（3）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，當n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，兩式相減得：可得b_n=$\frac{n•{2}^{n}}{{2}^{n}}$=n（n≥2），b₁=1滿足上式，可得b_n=n．設S_n表示數列{c_n}的前n項之和，S₁₀₀=（a₁+a₂+…+a₅₀）+（b₁+b₂+…+b₅₀），即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，a₅=32，
∴q=$\root{4}{\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}}$=2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）f（n）=a₂+a₄+…+a_2n=2²+2⁴+…+2²ⁿ=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$，f（n+1）=$\frac{4}{3}（{4}^{n+1}-1）$．
∴$\underset{lim}{n→∞}\frac{f（n+1）}{f（n）}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{4}^{n+1}-1}{{4}^{n}-1}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{4-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{{4}^{n}}}$=4．
（3）∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴當n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，
兩式相減得：a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-（n-2）•2ⁿ+2=n•2ⁿ，即b_n=$\frac{n•{2}^{n}}{{2}^{n}}$=n（n≥2），
又∵a₁b₁=2，即b₁=1滿足上式，
∴b_n=n；
設S_n表示數列{c_n}的前n項之和，
S₁₀₀=（a₁+a₂+…+a₅₀）+（b₁+b₂+…+b₅₀）
=2+2²+…+2⁵⁰+1+2+…+50
=$\frac{2（{2}^{50}-1）}{2-1}$+$\frac{50×51}{2}$
=2⁵¹+1273．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．